题目

已知圆C与圆x^2+y^2-2x=0相外切
已知圆C与圆x^2+y^2-2x=0相外切,并且与直线x+√3y=0相切与点Q（3,-√3）,求圆C的方程

提问时间：2021-03-30

答案

方法一 普通方法
x^2+y^2-2x=0,整理得：(x-1)^2+y^2=1,
圆心：（1,0） 半径：r=1
设圆C半径为R,圆心C（a,b） 即标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=R^2圆C与圆x^2+y^2-2x=0相外切,圆心距等于半径和 √[(a-1)^2+b^2]=R+1,①
与直线x+√3y=0相切,圆心到直线的距离等于半径
R=|a+√3b|/2,②
切点为Q（3,-√3）则圆过此点
(3-a)^2+(√3-b)^2=R^2,③
联立①②③三式,解得：a=4,b=0,R=2C的标准方程为：(x-4)^2+y^2=4
方法二 用圆系方程
设点圆 (x-3)^2+(y+根号3)^2=0
则与直线x+根号3y=0切于(3,-根号3)的圆可表示成
(x-3)^2+(y+根号3)^2+t(x+根号3y)=0
两圆方程相减得外公切线方程
(t-4)x+根号3(t+2)y+12=0
（1,0）到直线距离为已知圆半径1
则(t+8)^2=(t-4)^2+3(t+2)^2
得t=6 t=-2
整理得：(x-4)^2+y^2=4