题目

已知抛物线C：Y^2=2ax(a小于0),过点（-1,0）作直线L交C于点A、B两点,问是否存在以AB为直径且过抛物线C的焦点F的圆?

提问时间：2021-03-29

答案

抛物线C：Y^2=2ax焦点：F(a/2,0)
设L方程：y=k(x+1)
代人：Y^2=2ax得：
k^2(x+1)^2=2ax
k^2x^2+(2k^2-2a)x+k^2=0
x1+x2=(2a-2k^2)/k^2,x1x2=1
y1+y2=k(x1+x2)+2k=2a/k,
y1y2=k^2(x1x2+(x1+x2)+1)
=k^2(2+(2a-2k^2)/k^2)
=2a
以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F
y1y2+(x1-a/2)(x2-a/2)=0
y1y2+x1x2-a(x1+x2)/2+a^2/4=0
2a+1-a/2*(2a-2k^2)/k^2+a^2/4=0
k^2=4a^2/(a^2+4a+4)
k=±2a/(a+2)
即,存在以AB为直径且过抛物线C的焦点F的圆
这时,k=±2a/(a+2)