题目

已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一定点，并且A点到l₁，l₂的距离分别为h₁，h₂，B是直线l₂上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l₁交于点C，则△ABC面积的最小值为______．

提问时间：2021-03-29

答案

过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F，则AE=h1，AF=h2，设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=h1cosθ，Rt△ABE中，∠ABE=θ，可得AB=h2sinθ，∴△ABC面积为S=12AB•AC=h1h2sin2θ，∵θ∈（0，π2）∴当且仅当θ=π4时...

过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F．设∠FAC=θ，由直角三角形中三角函数的定义，算出AC=

h1

cosθ

且AB=

h2

sinθ

，从而得到△ABC面积S=

1

2

AB•AC=

h1h2

sin2θ

，利用正弦函数的有界性，可得θ=

π

4

时△ABC面积有最小值h₁•h₂．

本题考点：点到直线的距离公式．

考点点评：此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．