题目

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2

2

．

（1）求证：D₁E⊥A₁D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-29

答案

（1）证明：连接AD₁，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD₁，∴AD₁是ED₁在
平面AD₁内的射影．又∵AD=AA₁=1，
∴AD₁⊥A₁D
∴D₁E⊥A₁D₁（三垂线定理）
（2）设AB=x，∵四边形ADD₁A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C₁可能有两种途径，
如图甲的最短路程为|AC₁|=

x2+4

如图乙的最短路程为|AC₁=

(x+1)2+1

=

x2+2x+2

∵x>1
∴x²+2x+2>x²+2+2=x²+4
∴

x2+4

=2

2

∴x=2（9分）
（3）假设存在连接DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D₁H，则∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，
∴∠D₁HD=

π

4

，
∴DH=DD₁=1在R△EBC内，EC=

y2+1

，而EC•DH=DC•AD，
即存在点E，且离点B为

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

（1）连接AD₁，根据长方体的性质可知AE⊥平面AD₁，从而AD₁是ED₁在平面AD₁内的射影，根据三垂线定理可得结论；（2）根据四边形ADD₁A是正方形，则小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁可能有两种途径，然后比较两个路程的大小从而求出AB的长；
（3）假设存在连接DE，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连接D₁H，根据二面角平面角的定义可知∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，在直角三角形EBC中求出BE的长即可求出所求．

本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；三垂线定理．

考点点评：本题主要考查了三垂线定理的应用，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了推理能力和计算能力，属于中档题．