题目

已知函数f(x)＝ax3−3x2+1−

3

a

．
（1）讨论当a＞0时，函数f（x）的单调性；
（2）若曲线y=f（x）的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-03-29

答案

解（1）由题设知a≠0，f'（x）=3ax2-6x=3ax（x-2a）令f'（x）=0⇒x=0，x=2a当a＞0时，若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，故在（-∞，0）上递增；若x∈（0，2a），则f'（x）＜0，故在（0，2a）上递减；当x∈（2a，+∞）...

（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负来求函数的单调区间，进而讨论出函数f（x）的单调性；
（2）先求出曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，把线段AB与x轴有公共点转化为f（0）f（

2

a

）≤0，再解不等式即可求出实数a的取值范围．（注意前提限制）．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题第一问主要研究利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．