题目
如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．
提问时间：2021-03-29
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM．
证明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；
（3）作MR⊥BC，垂足为R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=
，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=
EC=
×2=
，
∴在Rt△EMR中，EM=
=
∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM．
证明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；
（3）作MR⊥BC，垂足为R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=
| 1 |
| 2 |
∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴在Rt△EMR中，EM=
| MR |
| sin45° |
2
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