题目

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B=3cos（A+C）+1．
（1）求B；
（2）若cosA=

4

5

，△abc的面积为

36+9 3

50

，求△ABC的外接圆的面积．

提问时间：2021-03-29

答案

（1）由题意，2cos²B-1=-3cosB+1⇒（cosB+2）（2cosB-1）=0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，
S△ABC=

36+9 3

50

=

1

2

absin(A+

π

3

)，
∵cosA=

4

5

，∴sinA=

3

5

，
∴sin（A+

π

3

）=

3

5

×

1

2

+

4

5

×

3

2

=

3+4 3

10

，
∴ab=

6 3

5

．
∴

ab

sinAsinB

=4R2=

6 3 5

3 5 × 3 2

=4⇒R=1．
∴S=πR²=π．

（Ⅰ）由条件可得 2cos²B+cosB-1=0，求得cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）由sinA=3sinC利用正弦定理可得a=3c，再根据△ABC的面积为

1

2

acsinB=

36+9 3

50

，求得ab值，再由正弦定理求得面积的值．

本题考点：正弦定理的应用．

考点点评：本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理的应用，