题目
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证存在ξ、η∈(a,b),使得eξ-η[f(η)+f′(η)]=1.
提问时间:2021-03-29
答案
证明:
首先构造辅助函数:g(x)=ex(f(x)-1),则g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
∵f(a)=f(b)=1,
∴g(a)=g(b)=1
运用罗尔定理知:
∃η∈(a,b),使得g′(η)=eη(f(η)+f′(η)-1)=0;
令ξ=η,则有eξ-η=1,
∴eξ-η(f(η)+f(η))=1
故得证.
首先构造辅助函数:g(x)=ex(f(x)-1),则g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
∵f(a)=f(b)=1,
∴g(a)=g(b)=1
运用罗尔定理知:
∃η∈(a,b),使得g′(η)=eη(f(η)+f′(η)-1)=0;
令ξ=η,则有eξ-η=1,
∴eξ-η(f(η)+f(η))=1
故得证.
举一反三
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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