题目

加拿大高中数学难题求救（DATA MANAGEMENT 排列组合问题）
一共52张扑克牌,发四张扑克牌（发完一张再一张） 扑克的数字就是对应的分数,（A是1分,2 是2分,以此类推） J,Q,K 问四张牌的和 的数学期望值是多少?
答出来者再奖励积分
如果发6张牌,规则不变,那其中最大的三张牌的和 的数学期望值是多少?
2L 的回复和我想的是一样的 不过那样全部列出来好像太复杂了囧 PS：1112和2111不是同一种 所以52张牌的组合总数应该是52*51*50*49- - 649万多种 虽然某些省略了 但是依然要写出很多
这是我同学的PROJECT 其实我的那个也很繁琐.

提问时间：2021-03-28

答案

　　不是简简单单这几个数的均值,可以理解为所有结果的均值,有重复的,重复多少次就得算多少个.也可以理解为这几个数的加权均值,某个结果权数就为这个结果的比例.最后计算公式是:期望=结果1*结果2的权数(即它占所有可能的结果的概率)+结果2*结果2的权数+.+结果n*结果n的权数
　　举个例子.从1,1,2,3,4,5中取四个数,求四个数和的数学期望.
　　而这四数的均值为8/3.而期望为32/3.具体计算如下：
　　均值：（1+1+2+3+4+5）/6=8/3
　　期望：四个数的可能结果有8种,分别是7,8,9,10,11,12,13,14
　　具体点说明就是7=1+1+2+3
　　8=1+1+2+4
　　9=1+1+2+5=1+1+3+4
　　10=1+1+3+5=1+2+3+4=1+2+3+4（1+2+3+4可以出现两次,因为有两个1,这两个1是要区别对待的） 11=1+1+4+5=1+2+3+5=1+2+3+5
　　12=1+2+4+5=1+2+4+5
　　13=1+3+4+5=1+3+4+5
　　14=2+3+4+5
　　总共可以看做有15种结果,分别是7,8,9,9,10,10,10,11,11,11,12,12,13,13,14从而7,8,9,10,11,12,13,14的权数（概率）分别是1/15,1/15,2/15,3/15,3/15,2/15,2/15,1/15.最后期望=7*1/15+8*1/15+9*2/15+10*3/15+11*3/15+12*2/15+13*2/15+14*1/15=32/3
　　对于这个风雨梦泽的提问,可以按照这个方法去求,不过不可行,计算量太大,事实上这个问题属于一个特殊分布,特殊分布的期望可以由以上的方法推倒出特定的期望计算公式,具体属于哪一种分布,我暂时还没有想到,想到了马上答复
　　好我现在接着来回答这个问题,刚上了几节课回来.
　　我们先看上面这个例子中,最后期望=7*1/15+8*1/15+9*2/15+10*3/15+11*3/15+12*2/15+13*2/15+14*1/15的计算过程,事实上可以改写期望=(1+1+2+3)*1/15+(1+1+2+4)*1/15+(1+1+2+5)*1/15+(1+1+3+4)*1/15+(1+1+3+5)*1/15+(1+2+3+4)*1/15+(1+2+3+4)*1/15+(1+1+4+5)*1/15+(1+2+3+5)*1/15+(1+2+3+5)*1/15+(1+2+4+5)*1/15+(1+2+4+5)*1/15
　　+(1+3+4+5)*1/15+(1+3+4+5)*1/15+(2+3+4+5)*1/15=[(1+1+2+3+(1+1+2+4)+(1+1+2+5)+(1+1+3+4)+(1+1+3+5)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4)+(1+1+4+5)+(1+2+3+5)+(1+2+3+5)+(1+2+4+5)+(1+2+4+5)+(1+3+4+5)+(1+3+4+5)+(2+3+4+5)]/15=[(1+1+2+3+4+5)*10]/15.
　　#我们来看这样写有什么好处.事实上可以用以下公式来计算:(a1*n1+a2*n2+...+as*ns)/总共可能排列数.其中ni(i=1,2,...,s)为ai在所有组合中出现的次数,ai如有两个就记两个ai,如上有两个1,就记两个.而且ni是一个组合数,具体为多少请继续望后面看.#本来可以只写结果,为了说清楚问题我就多罗嗦一下,不好意思,我做过老师,有这么罗嗦.
　　我们现在来看这个问题：52张牌,那么按上面的记法就是a1=1,a2=1,a3=1,a4=1,a5=2,a6=2,...,...a36=9,a37=10,a38=10,a39=10,a40=10,a41=10...,a52=10,(a41到a52都为10是因为把JQK看做了10）,这样共有52个数,我们来看ai(i=1,2...52)到底出现了多少次,实际上,把ai定下来,那么还的从其他51个里面取3个,为了记号方便,我把这个组合数记成（51,3）,因此ai就的出现（51,3）次.而总共组合数是（52,4）.那么按照上面的说法（加#部分）可以知道,最后的期望是[（a1+a2+a3+a4...+a52）*（51,3）]/（52,4）=(1+2+3+.+10+10+10+10)*4*（51,3）]/（52,4)=340/13.