题目

如图所示,B为三角形ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为三角形ABC,三角形ABD,三角形BCD的重心.求证：平面MNG平行平面ACD

提问时间：2021-03-28

答案

为△ABC、△ABD、△BCD的重心,因此可想到利用重心的性x0d质找出与平面平行的直线.x0d证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.x0d∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,x0d则有：连结PF、FH、PH有MN‖PF,又PF 平面ACD,∴MN‖平面ACD.x0d同理：MG‖平面ACD,MG∩MN＝M,x0d∴平面MNG‖平面ACDx0d（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比.x0d由（1）可知 ,x0d∴MG＝ PH,又PH＝ AD,∴MG＝ ADx0d同理：NG＝ AC,MN＝ CD,x0d∴ MNG∽ ACD,其相似比为1：3,x0d∴＝1：9点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何.比如重心定理,三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.