题目

对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（ax+1）与g（x）=log₂x在闭区间[1，2]上是接近的，则a的取值范围是______．

提问时间：2021-03-28

答案

由已知可得，当x∈[1，2]时，|f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|≤1
即|log2

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]
从而有，

1

2

≤

ax+1

x

≤2，x∈[1，2]
即

1

2

≤a+

1

x

≤2 在x∈[1，2]恒成立
而

1

2

≤

1

x

≤1
只要

a+1≤2 a+ 1 2 ≥ 1 2

解可得，0≤a≤1
故答案为：[0，1]

由已知可得，f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|=|log2

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]，从而有

1

2

≤a+

1

x

≤2 在x∈[1，2]恒成立，只要

a+1≤2 a+ 1 2 ≥ 1 2

进而可求a得取值范围

本题考点：函数的值域；函数恒成立问题．

考点点评：本题以新定义为切入点，主要考查了函数的恒成立问题与函数最值得相互转化，解题中要注意在得到

1

2

≤a+

1

x

≤2，x∈[1，2]时要注意对函数a+

1

x

最值得求解是解决本题的关键