题目

把积分∫∫∫f(x,y,z)dxdydz化为三次积分,其中积分区域是由曲面z=x^2+y^2,y=x^2及平面y=1,z=0围成的闭区域
为什么Z的范围是从0到x^2+y^2,0是怎么来的?我如果做一条平行于Z轴的直线,穿过立体,z不应该是0啊?

提问时间：2021-03-27

答案

立体在上下方向上的图形,上面是z=x^2+y^2,下面是z=0.周围的图形是由柱面y=x^2与平面z=1围成.
想象不出图形也没关系,三重积分在直角坐标系下使用先一后二的顺序,选择先z后xy.那就要先求x,y的范围,把围成立体的四个曲面两两求交线,把交线投影到xoy面,得到区域D.D由y=x^2与y=1围成,这就是x,y的取值范围.进一步,选择先x后y或者先y后x的顺序都行.再看z的范围,在D内任取一点,作平行于z轴的直线,从下向上,先与z=0相交,再与z=x^2+y^2相交,所以z的范围是0到x^2+y^2.
接下来按照三个积分限写出三次积分即可.