题目

试比较2ⁿ+2与n²的大小（n∈Z⁺），并用数学归纳法证明你的结论．

提问时间：2021-03-27

答案

当n=1时，左端=4，右端=1，左端＞右端；
当n=2时，左端=6，右端=4，左端＞右端；
当n=3时，左端=10，右端=8，左端＞右端；
于是可猜测：2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．
证明：：①当n=1、2、3时，均有左端＞右端，不等式成立；
②假设n=k（k≥3，k∈N^*）时不等式成立，即2^k+2＞k²；
则当n=k+1时，
左边=2^k+1+2=2×（2^k+2）-2＞2k²-2=k²+k²-2，
右边=（k+1）²=k²+2k+1，
∵k²+k²-2-（k²+2k+1）=k²-2k-3=（k-3）（k+1）≥0，
∴当k≥3时，k²+k²-2≥（k+1）²，
即当n=k+1时，2^k+1+2＞（k+1）²，不等式成立；
综上所述，2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．