题目
关于高数初等变形,如何根式有理化,麻烦指点下,纠结死了~
x^(1/2) -1
lim -----------------
x-1 x^(1/3) -1
x^(1/2) -1
lim -----------------
x-1 x^(1/3) -1
提问时间:2021-03-27
答案
这类题目有两种方法:有理化(通用)或者换元(简单)
1、有理化
一般是利用平方差、立方差公式
比如本题,分子是 √x - 1
根据平方差公式 乘上 √x +1 即变成 x -1
分母是 ³√x - 1 ,根据立方差公式
乘上 (³√x)² + ³√x +1 即变成 x -1
故本题只需分子分母同乘以 (√x +1)[(³√x)² + ³√x +1]
化简得:
原式 = lim [(³√x)² + ³√x +1] / (√x +1) = 3/2
2、换元
本题令 t= x^(1/6)
原式= lim (t³ -1) / (t² -1)
= lim (t²+t+1) / (t+1) 【因式分解、约分】
= 3/2
显然本题用换元法稍简单一些.
但是大多数时候换元法是用不上的
例如 lim [ √(x²+x) - x ] 没法换元.
但根据平方差公式有理化如下:
原式= lim [√(x²+x) - x] [√(x²+x) + x] / [√(x²+x) + x]
= lim x / [√(x²+x) + x]
=lim 1/[√(1+ 1/x) +1] 【分子分母同除以x】
= 1/2
所以有理化是解决此类题目的通法,一定要掌握.
如果还有疑问欢迎追问o(∩_∩)o
1、有理化
一般是利用平方差、立方差公式
比如本题,分子是 √x - 1
根据平方差公式 乘上 √x +1 即变成 x -1
分母是 ³√x - 1 ,根据立方差公式
乘上 (³√x)² + ³√x +1 即变成 x -1
故本题只需分子分母同乘以 (√x +1)[(³√x)² + ³√x +1]
化简得:
原式 = lim [(³√x)² + ³√x +1] / (√x +1) = 3/2
2、换元
本题令 t= x^(1/6)
原式= lim (t³ -1) / (t² -1)
= lim (t²+t+1) / (t+1) 【因式分解、约分】
= 3/2
显然本题用换元法稍简单一些.
但是大多数时候换元法是用不上的
例如 lim [ √(x²+x) - x ] 没法换元.
但根据平方差公式有理化如下:
原式= lim [√(x²+x) - x] [√(x²+x) + x] / [√(x²+x) + x]
= lim x / [√(x²+x) + x]
=lim 1/[√(1+ 1/x) +1] 【分子分母同除以x】
= 1/2
所以有理化是解决此类题目的通法,一定要掌握.
如果还有疑问欢迎追问o(∩_∩)o
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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