题目

如图,正三角形ABC的边长6√3cm,⊙O的半径为rcm,圆心O从A点出发,沿着线路AB
(1)若r=√3cm,求⊙O与BC边首次相切时OA的长；(2)在⊙O的转动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?请求出在不同情况下r的取值范围及相应的切点个数；(3)设⊙O在整个转动过程中,△ABC内部,O未经过部分的面积为S,在S>0时,求S关于r的函数关系式,并求出自变量r的取值范围.

提问时间：2021-03-27

答案

（1）当⊙O与BC边首次相切时,与BC切点为D
那么OD垂直BC,且OD=√3
那么OB=2 所以OA = AB - OB = 6√3 -2
（2）相切有两种不同情况
1.当r＞0,r ＜三角形的高,有6个切点
2.当r=三角形的高,有三个切点,这三个切点为三角形ABC的三边中点
（3）圆O为经过的部分为等边三角形DEF
这里用到问题1,OB= 2√3 r/ 3
则等边三角形DEF的边长为 AB - 2OB = 6√3 - 2√3 r/ 3
等边三角形DEF的高为 （6√3 - 2√3 r/ 3）（√3 /2）= 9 - r
那么S=(6√3 - 2√3 r/ 3)×（9 - r）＞0
（9-r）²＞0
所以变量r的取值范围为 r＞0,r＜9