题目

sinA+sinB=1 cosA+cosB=0 cos(A+B)=?为什么1+2cos(A+B)=-2cos(A+B)cos(A-B)?

提问时间：2021-03-26

答案

这种题,如果是考试时候就直接猜答案：
sinA=sinB=1/2 cosA=-√3/2 cosB=√3/2满足条件, 一个1/6Pi ,一个 5/6 Pi,答案是-1
如果是解答题,就利用cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
然后第一个式子平方得到：sin2(A)+sin2(B)+2sinAsinB=1,第二个式子平方得到cos2(A)+cos2(B)+2cosAcosB=0

两式相加得到 2+2cos(A-B)=1, cos(A-B)=-1/2

两式相减(第二个减第一个) 得到cos2(A)-sin2(A)+cos2(B)-sin2(B)+2cos(A+B)=-1
即(cos2A+cos2B)+2cos(A+B)=-1,和差化积,2cos(A+B)cos(A-B)+2cos(A+B)=-1
cos(A+B)=-1/[2cos(A-B)+2]=-1/[2*(-1/2)+2]=-1/1=-1

你说的那个式子肯定不是恒等式,不然令A=B=0,上式并不成立.
因此一定是用前面的式子推出来的.猜想可能是把1式平方后移项
1-2sinAsinB=sin2(A)+sin2(B)
2式平方移项
2cosAcosB=-cos2(A)-cos2(B)
左右分别相加
得到1+2cos(A+B)=-(cos2A+cos2B)=-2cos(A+B)cos(A-B)
可得证明