题目

已知圆C：（x-1）2 +（y+ 2）2=9,直线l：2ax-y +2a-1=0 求证：无论a为何实数,直线l与圆总相交

提问时间：2021-03-25

答案

圆C：（x-1）2 +（y+ 2）2=9,
直线l：2ax-y +2a-1=0 ,y+2=2ax+2a+1代入（x-1）2 +（y+ 2）2=9：
（x-1)^2+(2ax+2a+1)^2=9
(4a^2+1)x^2+2(4a^2+2a-1)x+(4a^2+4a-7)=0
判别式△=4(4a^2+2a-1)^2-4(4a^2+1)(4a^2+4a-7)
=4[(16a^4+16a^3-4a^2-4a+1) - (16a^4+16a^3-24a^2+4a-7)]
=4(20a^2-8a+8）
=16(5a^2-2a+2)
=16[(根号5a -1/根号5)^2-1/5+2]
=16[[(根号5a -1/根号5)^2+9/5]≥144/5
∴无论a为何实数,直线l与圆总相交