题目

求积分符下dx/(4+x^2)^(3/2)
如题

提问时间：2021-03-25

答案

令x＝2/u,则：u＝2/x,dx＝－（2/u^2）du.
∴（4＋x^2）^（3/2）＝（4＋4/u^2）^（3/2）＝8（1＋u^2）√（1＋u^2）/u^3,
∴∫［（4＋x^2）^（3/2）］dx
＝－（1/8）∫｛1/［（1＋u^2）√（1＋u^2）/u^3］｝（2/u^2）du
＝－（1/4）∫｛u/［（1＋u^2）√（1＋u^2）］｝du
＝－（1/8）∫｛1/［（1＋u^2）√（1＋u^2）］｝d（1＋u^2）
＝－（1/8）∫［（1＋u^2）^（－3/2）］d（1＋u^2）
＝－（1/8）×［1/（－3/2＋1）］（1＋u^2）^（－3/2＋1）＋C
＝（1/4）（1＋u^2）^（－1/2）＋C
＝1/［4√（1＋u^2）］＋C
＝1/｛4√［1＋（2/x）^2］｝＋C
＝x/［4√（x^2＋4）］＋C.