题目
设两个一元二次方程ax2+2bx+1=0和cx2+2dx+1=0（其中a，b，c，d均为实数）满足a+c=2bd．求证：上述两个方程中至少有一个方程有实数根．
提问时间：2021-03-25
答案
假设上述两个方程中都没有实数根．
则两个方程的判别式△1=4b2-4a＜0，△2=4d2-4c＜0，
即b2＜a，d2＜c，不等式两边同时相加得b2+d2＜a+c，
∵a+c=2bd．
∴不等式等价为b2+d2＜2bd，
这与b2+d2≥2bd矛盾，
故假设不成立，
即上述两个方程中至少有一个方程有实数根．
则两个方程的判别式△1=4b2-4a＜0，△2=4d2-4c＜0，
即b2＜a，d2＜c，不等式两边同时相加得b2+d2＜a+c，
∵a+c=2bd．
∴不等式等价为b2+d2＜2bd，
这与b2+d2≥2bd矛盾，
故假设不成立，
即上述两个方程中至少有一个方程有实数根．
利用反证法即可得到结论．
反证法的应用．
本题主要考查命题的推理和证明，利用反证法是解决本题的关键．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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