题目

在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠DAB
当∠DAB=60°时,求证AB+AD=√3AC
当∠DAB=90°时,求证 AB+AD=√2AC
当∠DAB=120°时,求证AB+AD=AC

提问时间：2021-03-25

答案

不妨设角B是锐角
过C作CF垂直AD,CE垂直AB,垂足分别是F,E
则由已知易证得三角形CAF与CAE全等,CDF与CBE全等
所以AF=AE,DF=BE
所以AB+AD=2AE
1..当∠DAB=60°时,如图1
在三角形ACE中有角CAE=30度,角AEC=90度
所以CE=1/2AC,AE=(根号3)CE
所以AE=(1/2根号3)AC
所以AB+AD=(根号3)AC
2..当∠DAB=90°时,如图2,
同理可证得AB+AD=(根号2)AC
3..当∠DAB=120°时,如图3
同理可证得AB+AD=AC
当角B是直角时即为添辅助线后情况,结论也成立