题目
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知已知a=1,b=2,cosc=1/4,(1)求△ABC的周长(2)求求值:cos(A-C
)的值
)的值
提问时间:2021-03-25
答案
您好
分析:(I)利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长;
(II)根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.
(I)∵c^2=a^2+b^2-2abcosC=1+4-4×1/4=4,
∴c=2,
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
(II)∵cosC= 1/4,∴sinC=√(1-cos^2C=) =√(1-(1/4)^2)= (√15)/4.
∴sinA= asinC/c= √15/4/2= (√15)/8.
∵a<c,∴A<C,故A为锐角.则cosA=√(1-(15/8)^2)= 7/8,
∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= 7/8× 1/4+ √15/8× √15/4= 11/16.
分析:(I)利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长;
(II)根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.
(I)∵c^2=a^2+b^2-2abcosC=1+4-4×1/4=4,
∴c=2,
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
(II)∵cosC= 1/4,∴sinC=√(1-cos^2C=) =√(1-(1/4)^2)= (√15)/4.
∴sinA= asinC/c= √15/4/2= (√15)/8.
∵a<c,∴A<C,故A为锐角.则cosA=√(1-(15/8)^2)= 7/8,
∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= 7/8× 1/4+ √15/8× √15/4= 11/16.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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