题目
定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=(
)
1 |
2 |
提问时间:2021-03-24
答案
(1)由x∈[0,2]时,f(x+2)=f(x)有f(2)=f(0)
得|2-m|=|m|
∴m=1
(2)证明:由(1)得f(x)=(
)|x−1|
当x∈[0,2]时,f(x)∈[
,1]
又f(x)是周期为2的周期函数,故f(x)的值域为[
,1]
当x>2时,g(x)>1>f(x),故此时方程无解;
当x=2时,f(x)≠g(x),方程无解
当1<x<2时,记F(x)=f(x)-g(x)=(
)x−1−log2x,
F(1)•F(2)=-
<0,且F(x)单调递减,所以函数F(x)在x∈(1,2)内有唯一零点
即方程f(x)=g(x)在x∈(1,2)上有唯一解;
当0<x≤1时,g(x)≤0<f(x),此时方程无解.
综上可知,方程f(x)=g(x)只有一个实数解.
得|2-m|=|m|
∴m=1
(2)证明:由(1)得f(x)=(
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当x∈[0,2]时,f(x)∈[
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又f(x)是周期为2的周期函数,故f(x)的值域为[
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当x>2时,g(x)>1>f(x),故此时方程无解;
当x=2时,f(x)≠g(x),方程无解
当1<x<2时,记F(x)=f(x)-g(x)=(
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F(1)•F(2)=-
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即方程f(x)=g(x)在x∈(1,2)上有唯一解;
当0<x≤1时,g(x)≤0<f(x),此时方程无解.
综上可知,方程f(x)=g(x)只有一个实数解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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