题目

切点弦的方程
过圆O：x^2+y^2=r^2外一点M(a,b)作圆的两切线,求切点A、B所在直线方程

提问时间：2021-03-23

答案

本题方法不一, 我就说说我的
首先利用M与圆心的坐标求出M到圆心O的直线的斜率
然后求出与这条直线垂直的直线的斜率 (两垂直直线斜率之积为 - 1)
这有什么用?当然有, 它就是直线AB的斜率, 因为AB与PO垂直嘛
然后设过点M的直线y - b = k (x - a), 与圆联立, 消去y
得到关于x的一元二次方程
设这个方程有解, 令判别式△ = 0, 即直线与圆只有一个交点, 就是切点
然后得到的就是关于k的一元二次方程
通常情况下是解到两个解的, 切线有两条嘛
但是亦有可能只有一个解, 说明另一条切线的斜率不存在 (就是垂直于x轴的那种)
将解到的k代进原来的x的一元二次方程,用韦达定理得x1+x2和x1x2的值
然后y1+y2= k (x1 - a) + b + k (x2 - a) + b = k (x1+x2 - 2 a) + 2 b得出
然后求切点AB的中点坐标(x1+x2/2,y1+y2/2)
知道直线上一点和它的斜率, 它的解析式就迎刃而解了
还有一种方法就是在求出k后直接求A, B的横坐标, 然后求纵坐标
这种方法会遇到更糟糕的运算~