题目
题意不太明白,也不知怎么证明.
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k,如果x属于Si,y属于Sj,则x-y属于Sk,证明:S1、S2、S3中必有两个集合相等.
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k,如果x属于Si,y属于Sj,则x-y属于Sk,证明:S1、S2、S3中必有两个集合相等.
提问时间:2021-03-23
答案
设x ∈ s1,且y ∈ s2
那么x-y ∈s3.
根据已知条件,
因为x-y ∈ s3,且x ∈ s1
所以-y ∈ s2.
同理可证,-x ∈ s1,以及y-x∈ s3
因此,对于任意一个集合,它的元素都是成对(一正一负)出现的.
容易知道,x+y ∈ s3,-x-y∈ s3.
如果某个集合(如S2)中含有元素0,那么由x-0=x,知道S1和S3的元素全
部相同,S1=S3.
如果x(∈ S1),y(∈ S2)都不是0,
那么S3中的元素x+y和x-y中必有一个的绝对值小于x和y中绝对值较大的一个(分同号和异号讨论).
设|x|>|x-y|,那么取S2中的y和S3中的x-y重复使用上述规则,
从而得到一串绝对值递减的数列:|x|,|x-y|,|x-2y|,……
但是绝对值递减的整数列不能无限下去,因此必然最终得到0(无穷递降法).
所以,我们证明了必然有一个集合中含有0元素.
从而得到结论
那么x-y ∈s3.
根据已知条件,
因为x-y ∈ s3,且x ∈ s1
所以-y ∈ s2.
同理可证,-x ∈ s1,以及y-x∈ s3
因此,对于任意一个集合,它的元素都是成对(一正一负)出现的.
容易知道,x+y ∈ s3,-x-y∈ s3.
如果某个集合(如S2)中含有元素0,那么由x-0=x,知道S1和S3的元素全
部相同,S1=S3.
如果x(∈ S1),y(∈ S2)都不是0,
那么S3中的元素x+y和x-y中必有一个的绝对值小于x和y中绝对值较大的一个(分同号和异号讨论).
设|x|>|x-y|,那么取S2中的y和S3中的x-y重复使用上述规则,
从而得到一串绝对值递减的数列:|x|,|x-y|,|x-2y|,……
但是绝对值递减的整数列不能无限下去,因此必然最终得到0(无穷递降法).
所以,我们证明了必然有一个集合中含有0元素.
从而得到结论
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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