题目
证明∫（0,+∞）dx/(1+x^4)=∫（0,+∞）x^2/(1+x^4)dx.并求值
提问时间：2021-03-23
答案
对第一项积分做倒变换t=1/x即得证；
利用这个结论,
2*∫（0,+∞）dx/(1+x^4)=∫（0,+∞）dx/(1+x^4)+∫（0,+∞）x^2/(1+x^4)dx
=∫（0,+∞）(1+x^2)/(1+x^4)dx
=∫（0,+∞）[1+(1/x^2)]/[(1/x^2)+x^2]dx
=∫（0,+∞）1/[(x-1/x)^2+2]d(x-1/x)
=1/(根号2)*arctan[(x-1/x)/(根号2)] x趋向于+∞ ；x=0
=1/(根号2)*[π/2-(-π/2)]
=π/(根号2).
利用这个结论,
2*∫（0,+∞）dx/(1+x^4)=∫（0,+∞）dx/(1+x^4)+∫（0,+∞）x^2/(1+x^4)dx
=∫（0,+∞）(1+x^2)/(1+x^4)dx
=∫（0,+∞）[1+(1/x^2)]/[(1/x^2)+x^2]dx
=∫（0,+∞）1/[(x-1/x)^2+2]d(x-1/x)
=1/(根号2)*arctan[(x-1/x)/(根号2)] x趋向于+∞ ；x=0
=1/(根号2)*[π/2-(-π/2)]
=π/(根号2).
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1脱变跟蜕变一个意思吗
- 2一大清早听见乌鸦的叫声什么预兆
- 3小强的练习册上有一道方程题,其中一个数字被墨水污染了,成了3/1(-x-1/2+x)=1-x-/5(表示被污染的数字）他翻了书后的答案,知道这个方程的解为x=5,于是他把被污染的数字求了出来,你能把小
- 4已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n^2,数列{bn}的每一项都有bn=│an│,求数列{bn}的前n项和
- 5非特殊角的正余弦值怎么算?余弦值为2的角度数多少?
- 6there are sixty minutes in an
- 7“实在是一件最奇妙的事情了“这句话表达了作者怎样的思想感情
- 8一种花生仁的出油率是38%,1000千克花生仁可榨油（ ）千克
- 9如图,某校操场有一段25m长的旧围栏（图中用线段AB表示）现在打算利用该围栏的一部分为一边建成一块面积为
- 10dress的复数
热门考点