题目

如果[x]表示不超过实数x的最大整数,令{x}=x-[x].求证：若x满足等式{x}+{1/x}=1,则x一定是无理数.
由{x}+{1/x}=q/p+p/q-[q/p]=1
怎么推出：q^2+q^2=(n+1)pq

提问时间：2021-03-23

答案

假设x是正有理数,x=q/p,p,q是互素的正整数,不妨设q>p.q=np+r,n>=1
{x}+{1/x}=q/p+p/q-[q/p]=1
q^2+q^2=(n+1)pq
若n=1,则p=q矛盾
若n>1,则(q-p)^2=(n-1)pq,
因为p,q互素,若要上式成立,必须右边是完全平方数,所以n-1=pq
所以q-p=pq,这是不可能的,矛盾.
x是负有理数同理
两边同时乘以pq,因为q=np+r,r是余数,所以[q/p]=n