题目

三角形三边上各取一点连接后所得的三角形周长最短,如何求做这样的点
请给出理由
顺便问一下,三边高的交点（垂心）有什么性质

提问时间：2021-03-22

答案

三边高的交点（垂心） 将高分为两段 长度比例为2：1 （垂心到顶点的距离为2）
（1）设D是BC上固定点,求此时的周长最短的内接三角形.
作D关于AB、AC的对称点D1、D2,连D1D2交AB、AC于E、F,则△DEF为所求.实际上,对于△ABC的任一内接△DE′F′,有
DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2
≥D1D2=D1E+EF+FD2
=DE＋EF＋FD.
就是△DEF的周长≤△DEF的周长.
因此,我们只要对于每一个BC上的点D,都找出相应于该点的周长最短的内接三角形DEF,在这些三角形中找出周长最短的一个就行.
（2）由于 AD1=AD,AD2=AD,故△AD1D2是等腰三角形.又由于∠1=∠2,∠3=∠4,故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值,因此,只有当其腰AD1最短时,D1D2最短.此时必有AD最短.从而当 AD为△ABC的高时,内接三角形DEF的周长最短.
（3）当AD为△ABC的高时,由前面三角形垂足三角形性质,可证△ABC的内接三角形中,以其垂足三角形DEF的周长最短.