题目
定义在正实数上的函数f（x）,对于任意的m,n都属于正实数,都有f（mn）＝f（m）+f(n)成立,当x>1时,f(x)<0.证明f(x)在正实数上是减函数.
提问时间：2021-03-21
答案
假设x1>x2>1,则x1/x2>1
则f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,则f(x)是（1,+∞）上的减函数
假设 1>x1>x2>0,则x1/x2>1
则f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,则f(x)是（0,1）上的减函数
因为f（mn）=f（m）+f（n）令n=1
则f（mn）=f（m）+f（n） 即f（m）=f（m）+f（1）,则f(1)=0
综上可以知道f（x）是（0,+∞）上的减函数.
则f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,则f(x)是（1,+∞）上的减函数
假设 1>x1>x2>0,则x1/x2>1
则f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,则f(x)是（0,1）上的减函数
因为f（mn）=f（m）+f（n）令n=1
则f（mn）=f（m）+f（n） 即f（m）=f（m）+f（1）,则f(1)=0
综上可以知道f（x）是（0,+∞）上的减函数.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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