题目

将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上,并且以s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8分别表示（A,B,C）,（B,C,D）,……,（H,A,B）8组相邻的三个顶点上的数字之和.
请证明任何填法均不可能使得s1,s2,……,s8都大于或等于13

提问时间：2021-03-21

答案

将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上,并且以S1,S2,…,S8分别表示(A,B,C),(B,C,D),…,(H,A,B)8组相邻的三个顶点上的数字之和． (1)试给出一个填法,使得S1,S2,…,S8都大于或等于12； (2)请证明任何填法均不可能使得S1,S2,…,S8都大于或等于13．
(1)不难验证,如图所示填法满足．s1,s2,…s8都大于或等于12． (2)显然,每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中,所以有s1+S2+…+S8= (1+2+3+…+8)•3=108．如果每组三数之和都大于或等于13,因13•8=104,所以至多有108-104＝4个组的三数之和大于13．由此我们可得如下结论：(1)相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为(i,j,k),后一组为(j,k,l)．若有i+j+k=j+k+l,则l=i,这不符合填写要求；(2)每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15,则至多还有另外两个组,其三数之和大于13,余下5个组三数之和等于13,必有相邻的两组相等,这和上述结论(1)不符．因此,相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上,A点所填为i,C点所填为j．(1)若S1=i+1+J=13,则．s2=1+j+l=14,S3=j+l+k=13,因J>1,这是不可能的．(2)若sl=i+1+j=14,则S2=1+j+(i-1)=13,S=j+(i-1)+2：14,s4=(i-1)+2+(j-1)=13,这时S5=14,只能是S=2+(j-1)+i,i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．
原题答案啊,一定选我哦