题目

已知定义在R上的奇函数f（x）的图象经过点（2，2），且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log_a（x+2）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的解析式．

提问时间：2021-03-21

答案

（1）∵函数f（x）的图象经过点（2，2），
∴f（2）=log_a（2+2）=2，∴a=2．
（2）∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=0．
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log_a（x+2），
则当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），
∴f（x）=-f（-x）=-log₂（2-x）．
综上可得，f(x)＝

log2(x+2) ， x＞0 0 ， x＝0 −log2(2−x) ， x＜0

．

（1）根据函数f（x）的图象经过点（2，2），可得log_a（2+2）=2，由此求得a的值．
（2）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），根据f（0）=0，以及f（x）=-f（-x），求得当x=0以及x＜0时，函数的解析式，综合可得答案．

本题考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．

考点点评：本题主要考查奇函数的定义和性质应用，求函数的解析式，属于基础题．