题目

已知函数f（x）=lnx,g（x）=k（x-1）/x.当k=e时,求函数h（x）=g（x）的单调区间和极值.若f（x）≥g（x）恒成立,求实数k的值.求详解

提问时间：2021-03-21

答案

分析：
（Ⅰ）把k=e代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的符号得到函数的单调区间,进一步求得函数的极值；
（Ⅱ）求出函数h（x）的导函数,当k≤0时,由函数的单调性结合h（1）=0,可知h（x）≥0不恒成立,当k＞0时,由函数的单调性求出函数h（x）的最小值,由最小值大于等于0求得k的值．
（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0,+∞）,
h（x）=lnx- k(x−1)    /x    (x＞0),
当k=e时,h′(x)＝ 1    /x    − e    /x2    ＝ x−e    /x2    ,
若0＜x＜e,则h′（x）＜0；若x＞e,则h′（x）＞0．
∴h（x）是（0,e）上的减函数,是（e,+∞）上的增函数,
故h（x）min=h（e）=2-e,
故函数h（x）的减区间为（0,e）,增区间为（e,+∞）,极小值为2-e,无极大值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知h′(x)=1x−kx2＝x−kx2,
当k≤0时,h′（x）＞0对x＞0恒成立,
∴h（x）是（0,+∞）上的增函数,
注意到h（1）=0,∴0＜x＜1时,h（x）＜0不合题意．
当k＞0时,若0＜x＜k,h′（x）＜0；
若x＞k,h′（x）＞0．
∴h（x）是（0,k）上的减函数,是（k,+∞）上的增函数,
故只需h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≥0．
令u（x）=lnx-x+1（x＞0）,
u′(x)＝1x−1＝1−xx,
当0＜x＜1时,u′（x）＞0； 当x＞1时,u′（x）＜0．
∴u（x）是（0,1）上的增函数,是（1,+∞）上的减函数．
故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．
∴当且仅当k=1时,h（x）≥0成立,
即k=1为所求．