题目

设两非零向量e₁和e₂不共线．
（1）如果

AB

=e₁+e₂，

BC

=2e₁+8e₂，

CD

=3（e₁-e₂），求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线；
（3）若|e₁|=2，|e₂|=3，e₁与e₂的夹角为60°，试确定k的值，使ke₁+e₂与e₁+ke₂垂直．

提问时间：2021-03-21

答案

（1）证明：AD=AB+BC+CD=6（e1+e2）=6AB，∴AB∥AD，AB与AD有公共点A．∴A、B、D三点共线．（2）∵ke1+e2和e1+ke2共线，∴存在λ使ke1+e2=λ（e1+ke2），即（k-λ）e1+（1-λk）e2=0．∵e1与e2为非零不共线向量，∴k...

（1）先证明

AB

∥

AD

，再根据有公共点原理，证明三点共线
（2）ke₁+e₂和e₁+ke₂共线，运用实数λ，使得ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），即可求出
（3）运用向量数量积公式计算：由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，解出K的值

本题考点：平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．

考点点评：此题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题