题目

探索与研究
（方法1）如图：

对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
（方法2）如图

是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

提问时间：2021-03-20

答案

（方法1）
S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE
即：b2＝

1

2

c2+

1

2

(b+a)(b−a)
整理：2b²=c²+（b+a）（b-a）
∴a²+b²=c²．
（方法2）
此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和，所以：
S_△ABC+S_△ACD=S_△ABD+S_△BCD
即：

1

2

b2+

1

2

ab＝

1

2

c2+

1

2

a(b−a)
整理：b²+ab=c²+a（b-a）
b²+ab=c²+ab-a²
∴a²+b²=c²．

方法1，关键描述语是：四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．应根据这句话进行解答．
方法2，定量关系为：△ABC和Rt△ACD的面积之和=Rt△ABD和△BCD的面积之和．

本题考点：勾股定理的证明．

考点点评：根据所给图形，找到相应的等量关系是解决本题的关键．