题目

1、已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x+1/x+2的图像关于点（0,1）对称,求f(x)的解析式.
2、已知函数f(x)=lnx-a^2(x^2)+ax,(a∈R),若该函数在区间（1,+∞）上是减函数,求实数a的取值范围.

提问时间：2021-03-20

答案

1.设点m(xo,yo)在h(x)上
则m关于(0,1)的对称点n(-xo,2-yo)在f(x)上
令-xo=x,2-yo=y,则xo=-x,yo=2-y
又yo=xo＋1/xo＋2,则2-y=-x＋1/-x＋2=x-1/x-2,f(x)=y=x-3/x-2
2.∵f'(x)=1/x-2xa^2＋a
f''(x)=-1/x^2-2a^2
∴f'(x)在(0,＋∞)上递减
要使f(x)在(1,＋∞)上单调递减,即要使f'(1)≤0
又f'(1)=-a^2＋a＋1=-(a-1/2)^2＋5/4
∴(a-1/2)^2≥5/4,得a≥(√5＋1)/2或a≤(1-√5)/2