题目

P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,向量PF1*PF2最大值的范围是[c^2,3c^2],则该椭圆的离心率的取值范围

提问时间：2021-03-19

答案

假设椭圆焦点在x轴上,a>b>0
通过画图不难发现:当P位于椭圆短轴顶点时,∠APB最大.
所以如果椭圆上存在一点P,使∠APB=120,那么当P位于短轴顶点时,必须满足∠APB>=120,即∠APO>=60
所以tan∠APO=a/b>=√3
b^2=a^2-c^2<=a^2/3
所以 c^2<=2a^2/3
即 e^2<=2/3
所以椭圆离心率的取值范围：（0,√6/3]
很高兴为你解决问题!