题目

袋中有a只白球 b只红球 做不放回抽样 k个人依次在袋中取出一个球
求第i(i=1,2...k)个人取到白球(记为事件B)的概率
分析：
k个人各取一个球 每种取法是一个基本事件
共有(a+b)(a+b-1).(a+b-k+1)=A(k,a+b)个基本事件
且由于对称性知道每个基本事件发生的概率相同
当事件B发生时 也就是第i个人取到的是白球
它可以是a只白球中的任何一个 有a种取法-------为什么呢?有可能先前就有人取走白球了 题目又没说这第i个人取到白球是第一次取到白球
其余被取出的k-1只球可以是a+b-1中的任何一个
有(a+b-1)(a+b-2)...(a+b-(k-1)+1)=A(k-1,a+b-1)种取法
所以事件B 有 a*A(k-1,a+b-1) 种基本事件
所以概率是 a*A(k-1,a+b-1)/A(k,a+b) =a/(a+b)
和放回抽样的概率一样

提问时间：2021-03-19

答案

啊哈!没错,放回抽样和不放回抽样取到白球的概率就是一样的!很神奇吧!
作为分母的A(k,a+b)你应该没有问题.关键在于分子.
你说的很对,在第K个人之前当然可能有人已经取到了白球.但是我们关心的是第K个人一定取到了白球,在他前面的人取到了什么球我们并不关心.
你可一这样想,一共有a个白球,
如果第K个人取到了1号白球,其余K-1个人有(a+b-1)(a+b-2)...(a+b-(k-1)+1)=A(k-1,a+b-1)种取法,
如果第K个人取到了2号白球,其余K-1个人有(a+b-1)(a+b-2)...(a+b-(k-1)+1)=A(k-1,a+b-1)种取法,
……
如果第K个人取到了a号白球,其余K-1个人有(a+b-1)(a+b-2)...(a+b-(k-1)+1)=A(k-1,a+b-1)种取法,
所以分子上总的事件数不就是 a*A(k-1,a+b-1)了吗?
如果你学过条件概率你可以算出,如果K=1,取到白球的概率当然是a/(a+b),如果K=2,取到白球的概率还是a/(a+b),如果K=3,取到白球的概率依然是a/(a+b)……
用数学归纳法也能得到同样结果.
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