题目

1.已知递增的等比数列{an}中,a1a9=2304,a4+a6=120,求an的通项公式.
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q

提问时间：2021-03-18

答案

1.a1a9=2304,
即a1×(a1×q^8)=a1^2×q^8=(a1×q^4)^2=a5^2=2304,故a5=48
a4= a5/q,a6=a5×q,a4+a6=120,即48/q+48q=120,转化后得到方程
2q^2-5q+2=0,(2q-1)(q-2)=0,q=1/2或q=2,由于{an}是递增的等比数列,故q=2
a5=a1×q^4=a1×2^4=48,所以,a1=3,an=3×2^(n-1)
2.S3+S6=2S9
s3+s6=[a1(1-q^3)+a1(1-q^6)]/(1-q)= a1(2-q^3-q^6) /(1-q)
2s9=2a1(1-q^9)/(1-q)
故,a1(2-q^3-q^6)=2a1(1-q^9)
化简后,q^3(2q^6-q^3-1)=0,q≠0,则(2q^6-q^3-1)=0
设q^3=K,则
2K^2-K-1=0,（2K+1）（K-1）=0
K= -1/2或K=1
即q^3= -1/2 或q^3=1
则q= -3√ 1/2（这是开立方,我这不会表示,不是“3×√ ”）或q=1 （等比数列中,q≠1）
所以,q= -3√ 1/2