题目
设f(x)在[0,1]内连续,(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证
(1)至少存在一点ξ∈(1/2,1),使得f(ξ)=ξ;
(2)至少存在一点η∈(0,ξ),使得f'(η)=1;
(3)对任意实数λ,必存在x0∈(0,ξ),使得f'(x0)-λ[f(x0)-x0]=1
第一二问会,求解第三问,
(1)至少存在一点ξ∈(1/2,1),使得f(ξ)=ξ;
(2)至少存在一点η∈(0,ξ),使得f'(η)=1;
(3)对任意实数λ,必存在x0∈(0,ξ),使得f'(x0)-λ[f(x0)-x0]=1
第一二问会,求解第三问,
提问时间:2021-03-18
答案
(1) .令F(x) = f(x) - x
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 ) = f(1) -1 =-1<0
所以:F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0
既:f(ξ)=ξ;
(2).令F(x) = f(x) -x
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 ) = f(1) -1 =-1<0
所以:F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0,又F(0) = 0
在[0,ξ]上对F(x)用罗尔定理,存在η∈(0,ξ),使得F‘(ξ) = 0
既:f'(η)= 1
(3).令g(x) =exp(-λx)*F(x)
又:g(0) = 0,g(ξ) = 0.
由罗尔定理,
对任意实数λ,必存在x0∈(0,ξ),
使得:g'(x0) =exp(-λx0)*[f'(x0) - 1 - λ[f(x0)-x0]] =0
又exp(-λx0)>0
既:f'(x0)-λ[f(x0)-x0]=1
exp表示自然对数.exp(-λx)表示exp的-λx 次方
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 ) = f(1) -1 =-1<0
所以:F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0
既:f(ξ)=ξ;
(2).令F(x) = f(x) -x
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 ) = f(1) -1 =-1<0
所以:F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0,又F(0) = 0
在[0,ξ]上对F(x)用罗尔定理,存在η∈(0,ξ),使得F‘(ξ) = 0
既:f'(η)= 1
(3).令g(x) =exp(-λx)*F(x)
又:g(0) = 0,g(ξ) = 0.
由罗尔定理,
对任意实数λ,必存在x0∈(0,ξ),
使得:g'(x0) =exp(-λx0)*[f'(x0) - 1 - λ[f(x0)-x0]] =0
又exp(-λx0)>0
既:f'(x0)-λ[f(x0)-x0]=1
exp表示自然对数.exp(-λx)表示exp的-λx 次方
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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