题目
已知整数a,b,a-b都不是3的倍数,试证a^3+b^3是9的倍数
提问时间:2021-03-18
答案
因为整数a,b,a-b都不是3的倍数,所以可以设:a = 3m + 1,b=3n + 2,(m,n为整数)(这里设的意思就是a除以3余1,b除以3余2,他们的余数不可能相等,因为如果余数相等,则a-b就是3的倍数.当然也可设a除以3余2,b除以3余1,但因为题目中的式子是对称的,所以结果是一样的)
a^3 + b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2)
=(3m + 3n + 3)[(3m + 1)^2 - (3m + 1)(3n + 2) + (3n + 2)^2]
= 3(m + n + 1)[(9m^2 + 6m + 1) - (9mn + 6m + 3n +2) + (9n^2 + 12n + 4)]
= 3(m + n + 1)(9m^2 - 9mn + 9n^2 + 9n + 3)
= 9(m + n + 1)(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 3n + 1)
因为(m + n + 1)与(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 3n + 1)都是整数,所以该式可被9整除.即a^3+b^3是9的倍数
a^3 + b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2)
=(3m + 3n + 3)[(3m + 1)^2 - (3m + 1)(3n + 2) + (3n + 2)^2]
= 3(m + n + 1)[(9m^2 + 6m + 1) - (9mn + 6m + 3n +2) + (9n^2 + 12n + 4)]
= 3(m + n + 1)(9m^2 - 9mn + 9n^2 + 9n + 3)
= 9(m + n + 1)(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 3n + 1)
因为(m + n + 1)与(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 3n + 1)都是整数,所以该式可被9整除.即a^3+b^3是9的倍数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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英语翻译
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