题目

导数应用
水以15 π m³/s的速度流入一倒置圆锥容器,设容器深30米,上底直径为12米,则当水流入时间为3秒时,水面上升的速度是?（用导数）

提问时间：2021-03-18

答案

解法一:初等数学解法
设水面上升速度是v.
3秒内流入的水量 = 15π×3 = 45π （m³）
横截面的面积×水深/3 = 45π
πr²h/3 = 45π,r²h = 135
根据相似三角形的相似比：r/h = 6/30,h = 5r
所以,5r³ = 135,r = 3,横截面积 = 9π
所以,v = 15π/9π = 5/3 (m/s)
解法二：导数法
根据相似三角形的相似比：r/h = 6/30,h = 5r
所以,πr²h/3 = 45π,5r³ = 135,r = 3,
dV/dt = 15π [V为水的体积]
V = πr²h/3 = 5πr³/3
dV/dt = 5πr²dr/dt
dh/dt = 5dr/dt = 5(dV/dt)/5πr² = 75π/5πr²
= 15/r² = 15/9 = 5/3 (m/s)