题目

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．

（1）求证：AB⊥PD；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-18

答案

（1）证明∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．（2分）∵AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，（5分）∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．（6分）（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线．∴...

（1）由PA⊥平面ABCD，推知PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而有AB⊥平面PAD，证得AB⊥PD．
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线．可推知四边形EFDA是平行四边形，转化出AE∥DF．再由线面平行的判定定理得证．

本题考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：本题主要考查了线面平行与线线平行，线面垂直和线线垂直间的转化，考查了作图能力和转化问题的能力．