题目

设函数f（x）=x-ae^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-18

答案

（I）f^′（x）=1-ae^x-1
当a≤0时，f^′（x）＞0，f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，令f^′（x）=0得x=1-lna
若x＜1-lna，则f^′（x）＞0，从而f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数；
若x＞1-lna，，则f^′（x）＜0，从而f（x）在区间（1-lna，+∞上是减函数．
（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立
又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae^-lna=-lna
令-lna＜0得a≥1
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）