题目

经过点p(1,1)作抛物线y^2=4x的弦mn,使PM=2PN,求弦所在的直线方程
有关参数方程的应用

提问时间：2021-03-17

答案

过P作AB⊥X轴交抛物线于A,B
当x=1时,y^2=4,y=±2
A(1,2),B(1,-2)
PA=1,PB=3
直线AB不满足题意；
设满足题意的弦所在的直线方程是：y-1=k(x-1)
即：y=kx-k+1
联立：y^2=4x与y=kx-k+1
(kx-k+1)^2=4x
k^2x^2-2(k^2-k+2)x+(k-1)^2=0
△=4(k^2-k+2)^2-4k^2(k-1)^2
=16(k^2-k+1)
>0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
x1,x2是方程的2个根
x=[(k^2-k+2)±2√(k^2-k+1)]/k^2
x1+x2=2(k^2-k+2)/k^2
而PM=2PN
即点P分线段MN的比是2
那么：1=(x1+2x2)/(1+2)
所以：x1+2x2=3
x2=3-(x1+x2)
x2=3-2(k^2-k+2)/k^2
x2=(k^2+2k-4)/k^2
(k^2+2k-4)/k^2=[(k^2-k+2)±2√(k^2-k+1)]/k^2
3k-6=±2√(k^2-k+1)
(3k-6)^2=4(k^2-k+1)
9k^2-36k+36=4k^2-4k+4
5k^2-32k+32=0
k=(32±√384)/10=(16±4√6)/5
∴弦所在的直线方程MN为：
y=[(16+4√6)/5]x-(11+4√6)/5
或y=[(16-4√6)/5]x-(11-4√6)/5