题目

1.三角形ABC中,a、b、c是三内角角A、角B、角C所对的边.
证明“a^2=b(b+c)”是“角A=2角B”的充要条件.
2.若sin^2(α)+2sin^2(β)=2cosα,求y=sin^2(α)+sin^2(β)的最大值与最小值（max=1,min=2根号2-2）
3.若cos^2(θ)+2msin(θ)-2m-21-根号2

提问时间：2021-03-17

答案

1.
a²=b（b+c）又余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA
于是：b（b+c)=b²+c²-2bccosA
∴c=（1+2cosA）b
正弦定理：sinC=（1+2cosA）sinB
sin（A+B）=sinB+2cosAsinB
sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB
sin(A-B)=sinB 又A,B∈（0,π）==>A-B=B,A=2B
因为上面步步可逆,所以翻过来一样可以证明,故为充要条件.
2.
sin²α+2sin²β=2cosα
2sin²β=2cosα-sin²α=cos²α+2cosα-1》0,cosα》-1+√2或cosα《-1-√2（舍弃）
所以：cosα的范围是：[-1+√2,1]
2（sin²α+sin²β）=sin²α+2cosα=-cos²α+2cosα+1=-（cosα-1）²+2
cosα的范围是：[-1+√2,1]
当cosα=1,-（cosα-1）²+2最大值2,
当cosα=-1+√2时,-（cosα-1）²+2取最小值（4√2） -4
所以：sin²α+sin²β的最大值为：1,最小值为：（2√2） -2
3.
cos²θ+2msinθ -2m-2