题目

在等差数列an中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为Sn
1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设数列｛Bn｝满足Bn=1╱（（Sn+1）-1）,其前n项和为Tn,求证：Tn＜3╱4（n∈N*）.

提问时间：2021-03-17

答案

（1）设公差为d
2a1+3a2=5a1+3d=11
2a3=a2+a6-4 => 2a1+4d=2a1+6d-4 => d=2
解得a1=1,d=2
∴通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1
（2）Sn=(1+2n-1)*n/2=n^2
Bn=1/{S(n+1)-1}=1/{(n+1)^2-1}
=1/[n(n+2)]=1/2*{1/n-1/(n+2)}
Tn=∑Bn=1/2*{1/1+1/2+...+1/n}-1/2*{1/3+1/4+...+1/(n+2)}
=1/2*{1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}
=1/2*{3/2-1/(n+1)-1/(n+2)}
=3/4-1/2*{1/(n+1)+1/(n+2)}