题目

请教一道导数难题!
设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x
(-3,0)U(3,+∞）

提问时间：2021-03-17

答案

设h(x)=f(x)g(x)
h'(x)=[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
由已知：f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0
所以：h'(x)＜0
即：h(x)是单调减函数.
因为：f(3)=0
所以：h(3)=f(3)g(3)=0
当x＞3时,恒有h(x)＜0
即：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(3,+∞)
补充答案：
上述解题过程忽略了f(x)是奇函数了.先对上述解法进行更改：
设h(x)=f(x)g(x)
因为f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x)
因为g(x)是偶函数,有g(-x)=g(x)
h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)
所以,h(x)是奇函数.
不难求出：h'(x)=[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
由已知：当x＜0时,有：f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0
所以：h'(x)＜0
即：当x＜0时,h(x)是单调减函数.
因为h(x)是奇函数,所以,当x＞0时,h(x)同样是奇函数.
由：f(3)=0
得：f(-3)=-f(3)=0
即：当x=-3时,有：h(-3)=f(-3)g(-3)=0
当x＞-3时,恒有h(x)＜0
即：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(-3,0)
因为：f(3)=0
所以：h(3)=f(3)g(3)=0
因为f(x)在x＞0时,是奇函数,
所以：当x＞3时,恒有h(x)＜0
即：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(3,+∞)
综合以上,有：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(-3,0)∪(3,+∞)