题目

第一个数是1,第n个数是前一个数的n倍加(n-1)的阶乘 求第n个数是几?
1
3(=1*2+1!)
11(=3*3+2!)
50(=11*4+3!)
274(=50*5+4!)

提问时间：2021-03-17

答案

设为an.
an = n an-1 + (n-1)!
变形:
an / (n-1)! = n an-1 /(n-1)! + 1
an / n(n-1)! = an-1 / (n-1)! + 1/n
an / n! = an-1 / (n-1)! + 1/n
设bn = an/n!
bn = bn-1 + 1/n
bn - bn-1 = 1/n
bn = b1 + (b2-b1) + (b3 -b2)+.+(bn - bn-1)
= 1 + 1/2 + 1/3 +.+1/n
1 + 1/2 + 1/3 +.+1/n
貌似没通项公式,下面的介绍是借阅别人的.
它的各项是等差数列的倒数,称为调和数列.经过几百年的努力至今仍未找到求和公式,多数人的感觉：可能没有简单的求和公式.不过还是找到了近似公式：当n很大、很大的时候
1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C.
lnn是n的自然对数,欧拉常数C=0.57722...是著名的四大常数之一,只为调和数列所用.
所以an/n! ≈ lnn+C.
an ≈ (lnn+C)n!