题目

已知p是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线,c是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是?（我知道当CP垂直于已知直线式,四边形PACB的面积最小,但是我不知道怎么求……）

提问时间：2021-03-16

答案

由题意知△PAC≌△PBC,且两个三角形为直角三角形,其一条直角边为圆半径,另一直角边为切线长,因此,而四边形PACB面积刚好等于半径乘切线长,那切线长在什么时候最短呢?实际又可转化为,圆心到直线的距离短.因此,第一问就是问圆心到直线最短距离是多少.因此
将圆方程变为标准方程得,(x-1)²+(y-1)²=1,圆心为（1,1）,半径1
点到直线距离＝｜3+4+8｜/5=3
故切线长＝√（3＾2－1）＝2√2,故四边形PACB面积的最小值＝2√2