题目

定义a*b=

ab−1

-ka-2，则方程x*x=0有唯一解时，实数k的取值范围是（　　）
A. {-

5

，

5

}
B. [-2，-1]∪[1，2]
C. [-

5

，

5

]
D. [-

5

，−1]∪[1，

5

]

提问时间：2021-03-16

答案

由题中给出的定义，得方程x*x=0即

x 2−1

−kx−2＝0，
移项得

x 2−1

＝kx+2
作出函数y＝

x 2−1

和y=kx+2的图象如下：

直线恒过点（0，2），当直线的斜率为±1时，直线与双曲线的渐近线平行，两个图象有唯一公共点，
 当直线的斜率为±2时，直线过双曲线的顶点，刚好也是一个公共点，符合题意，
观察图象的变化，得直线的斜率的范围是k∈[-2，-1]∪[1，2]
故选B

根据新定义，将方程x*x=0转化为无理方程

x 2−1

−kx−2＝0有唯一解，分离成

x 2−1

＝kx+2，利用方程两边的函数图象有唯一公共点，可以解出k的取值范围．

本题考点：根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题着重考查了零点存在性以及函数与方程的知识点，属于基础题．读懂新定义，将方程转化为无理方程再用数形结合的方法，结合函数的图象解决是本题的关键．