题目

设A是实矩阵,证明：A转置乘A与A乘A转置的秩相同.

提问时间：2021-03-15

答案

若Ax=0,则A'Ax=0; 若A'Ax=0,则x'A'Ax=0,即(Ax)'Ax=0,故Ax=0.
从而方程Ax=0跟方程A'Ax=0通解.所以r(A'A)=r(A)；同理有r(AA')=r(A').
且注意到r(A)=r(A'),故r(A'A)=r(A'A).